2. 理想与同态

李代数的理想（Ideal）

理想的定义

说起理想，容易想起环上的理想概念：

设 $R$ 为环， $I \subset R$ ，若

$I$ 对加法封闭；‘

对任意 $a \in I, r \in R$ ，都有 $a r \in I$ 。
则称 $I$ 是环 $R$ 的一个理想，记作 $I ⊲ R$ 。

对于李代数，也可以定义类似的理想概念。

定义：李代数的理想 (Ideal)

设 $L$ 为一李代数，称其一子空间 $I$ 为 $L$ 的理想 (Ideal)，若对任意 $x \in L, y \in I$ ，有 $[x, y] \in I$ 。同样记作 $I ⊲ L$ 。

注意该李括号条件（称为吸收性）保证理想对李括号封闭；由于理想是一个子空间，因此理想是一个李子代数．此外，若两个理想 $I \subset J$ ，由于 $J$ 是一个李子代数，我们立得 $I ⊲ J$ ．

附注：顺序不影响理想判断

由于 $[x, y] = - [y, x]$ 仍位于子空间中，因此上面的定义中，写成 $[x, y]$ 或 $[y, x]$ 均无关紧要。

与环上的双边理想、群上的正规子群类似，李代数上的理想也充当着同态的核的作用。

以下列举理想的一些例子：

例子：理想

对于李代数 $L$ ，其一些理想有

$L$ 本身显然为 $L$ 的理想；
零空间 $0$ 显然也为 $L$ 的理想：称为零理想；
由李括号定义的中心（center） 是非平凡理想的一个例子。其定义为 $Z (L) = {z \in L : [x, z] = 0, \forall x \in L} .$ 对中心的一个理解是：如果李括号定义为 $F -$ 代数上交换子，则中心就是与 $L$ 中所有元素乘法可换的元素的集合；
$L$ 的导出代数（derived algebra） $[L, L]$ ： $[L, L] := {[x, y] : x, y \in L} .$ 由理想的定义，显然其为 $L$ 的一个理想。
理想的原像是理想：若 $ϕ : L \to L^{'}$ 为同态， $I ⊲ L^{'}$ ，则 $ϕ^{- 1} (I)$ 是一个理想，因为
- $I$ 是子空间，所以 $ϕ^{- 1} (I)$ 是子空间；
- $[I, L^{'}] \subset I$ ，即 $ϕ ([ϕ^{- 1} (I), L]) \subset I$ ，即 $[ϕ^{- 1} (I), L] \subset ϕ^{- 1} (I)$ ．

上面提到的导出代数是一个挺重要的概念：它能取到很多很多空间。

导出代数的一些极端例子

如果 $L$ 是 Abel 李代数，则 $[L, L] = 0$ ；显然反过来也成立；
对 $L = sl (n, F)$ （若 $char F = 2$ ，取 $n \neq 2$ ），研究其乘法表可知 $L = [L, L]$ . 练习 1.9 说明四类典型李代数都满足这一条件。

陪集

定义：陪集（coset）

对理想 $I ⊲ L$ ，元素 $x \in L$ ，

x + I := {x + a : a \in I}

称为一个 陪集（coset）。

理想的运算

与环中相同，对李代数中理想，也可以定义其运算。

定义：理想的加法

设 $I, J ⊲ L$ ，定义其加法为 $I ＋ J ＝ {x + y : x \in I, y \in J} .$

定义：理想的李括号

设 $I, J ⊲ L$ ，定义其李括号为 $[I, J] = {[x, y] : x \in I, y \in J} .$

特别地，取 $I = J = L$ ，即为导出代数。

单李代数

有的李代数比较复杂：它可以一个理想接一个理想，一层套一层；有的李代数就比较简单。

定义：单李代数 (simple algebra)

若李代数 $L$ 满足

$L$ 不是 Abel 李代数（其上李括号不平凡）；
$L$ 没有除自身及 $0$ 以外的其它理想。

2 这个要求可不平凡：我们知道 $Z (L)$ 和 $[L, L]$ 是 $L$ 中的理想，现在它们只能在 $0$ 与 $L$ 中取值了。1 表明 $[L, L] \neq 0$ ，所以 $L = [L, L]$ ；1 表明 $Z (L) \neq L$ ，只能有 $Z (L) = 0$ 。

例子：单李代数

考虑特殊线性代数 $L = sl (2, F)$ ，这里 $char F \neq 2$ 。取其一个标准基

x = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), y = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}), h = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

验证可知 $[x, y] = h, [h, x] = 2 x, [h, y = - 2 y]$ 。设 $I$ 是 $L$ 中的一个非零理想，取其一非零元 $a x + b y + c z$ 。若 $a \neq 0$ ，用 $ad y$ 作用两次得 $- 2 a y \in I$ ，故 $y \in I$ ；若 $b \neq 0$ ，用 $ad x$ 作用两次得 $- 2 b x \in I$ ，故 $x \in I$ ；若 $a = b = 0$ ，则 $c \neq 0$ ，因此 $h \in I$ 。无论如何 $x, y, h$ 中都有属于 $I$ 的元素，由乘法表作用即有这三个元素都在 $I$ 中，故 $I = L$ 。

附注：单李代数的维数至少为 3

一维李代数只有 Abel 代数；二维李代数只有 Abel 代数与 $[x, y] = y$ 两种，后者表明该代数有理想 $F y ⊲ L$ 。

附注：三维

R

或

C

上单李代数的分类

$C$ 上三维单李代数有且仅有 ${sl}_{2} (C)$ ； $R$ 上三维单李代数有且仅有 $(R^{3}, \times)$ 及 ${sl}_{2} (R)$ 。

商代数、典范映射与直积

如果 $L$ 不单（且不为一维），则其至少有一个非零真理想 $I$ 。与环代数中同样的是，李代数可以与理想作商，得到商代数。

定义：商代数（quotient algebra）

设 $I ⊲ L$ 。商代数 $L / I$ 的定义为：

其中的元素为陪集 $x + I$ ， $x \in L$ ；
$[x + I, y + I] = [x, y] + I$ 。

通过 $I$ 的定义，良定性容易验证。

定义：典范映射（canonical map）

映射 $π : L \to L / I, x \mapsto x + I$ 称为典范映射。

我们还可以定义李代数间的直积：

定义：直积（direct product）

设 $L, L^{'}$ 为李代数，定义其直积为

L \times L^{'} := {(x, y) : x \in L, y \in L^{'}} .

其上运算为：

[(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})] := ([x_{1}, y_{1}]_{L}, [x_{2}, y_{2}]_{L^{'}}), $ $ $ $ (x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} +_{L} x_{2}, y_{1} +_{L^{'}} y_{2}) .

正规化子与中心化子

类似群论，我们也可以定义所谓正规化子与中心化子。

定义：正规化子（normalizer）

设 $K < L$ 为子代数（或子空间），则 $K$ 关于 $L$ 的正规化子 (normalizer） 定义为

N_{L} (K) = {x \in L : [x, K] \subset K} .

正规化子是一个子代数。

正规化子最重要的性质是：若 $K$ 为子代数，则其为包含 $K$ 作为其理想的最大子代数。即：

定理：正规化子是将子代数作为理想的最大子代数

设 $K < L$ 为子代数，若子代数 $M$ 满足 $K ⊲ M$ ，则 $M < N_{L} (K)$ 。

证明若 $K ⊲ M$ ，则对任意 $m \in M \subset L$ ， $[m, K] \subset K$ 。

定义：中心化子（centralizer）

设 $X \subset L$ 为子集，所有与 $X$ 交换的元素构成的集合为 中心化子（centralizer）：

C_{L} (X) = {x \in L : [x, X] = 0} .

中心化子也是一个子代数；特别地， $C_{L} (L) = Z_{L}$ 。

特别地，若 $K = N_{L} (K)$ ，称 $K$ 自正规化（self-normalizing）。

同态与表示

我们已经在上次课定义了同态、同构的概念。我们接下来继续研究同态的各种性质。

同态的核与像

定义：同态的核（kernel）

设 $ϕ$ 为同态，其核为 $\ker ϕ = {x \in L : ϕ (x) = 0} .$

核是一个理想：若 $ϕ (x) = 0$ ，则对任意 $y \in L$ ，都有 $ϕ ([x, y]) = [ϕ (x), ϕ (y)] = 0.$

同理，可以定义同态的像

定义：同态的像（image）

设 $ϕ$ 为同态，其像为 $im ϕ = {ϕ (x) : x \in L} .$

同态的像是一个子代数。

同态定理

三大同态定理在李代数中也有对应项。

定理：三大同态定理

（第一同态定理）若 $ϕ : L \to L^{'}$ 是李代数间的一个同态，则 $L / \ker ϕ ≅ im ϕ,$ 另一方面，若 $I \subset \ker ϕ$ 是 $L$ 中的任一理想，则存在唯一的同态 $ψ : L / I \to L^{'}$ 使得下面的三角形图交换。这里 $π$ 是典范映射。
（第三同态定理）如果 $I, J ⊲ L$ ， $I \subset J$ ，则 $J / I$ 是 $L / I$ 的一个理想，且 $\frac{L / I}{J / I} ≅ L / J .$
（第二同态定理）如果 $I, J ⊲ L$ ，则 $\frac{I + J}{J} ≅ \frac{I}{I \cap J}$ 。

	\begin{document}
	\begin{tikzpicture}
		\node at (0,0) {$L$};
		\node at (3,0) {$L'$};
		\node at (3,-3) {$L/I$};
		\draw[->] (.5,0) -- (2.5,0) node[pos=.5,above] {$\phi$};
		\draw[->] (3,-2.5) -- (3,-.5) node[pos=.5,right] {$\psi$};
		\draw[->] (.5,-.5) -- (2.5,-2.5) node[pos=.5,below left] {$\pi$};
	\end{tikzpicture}
	\end{document}

表示

“表示” 是一种特殊的同态。我们先前已经接触过伴随表示，现在来介绍更一般的表示理论。

定义：表示（representation）

若 $ϕ$ 是 $L$ 到 $gl (V)$ 的一个同态，则称 $ϕ$ 是一个表示。

例如，先前介绍的伴随表示 $ad : L \to gl (L)$ ，就是一个表示。

另一个表示的例子是：若 $L < gl (V)$ 是一个线性李代数，则嵌入 $L \to gl (V)$ 也是一个表示。

作为本节最后，我们用同态观点来研究 $ad$ 的性质。注意到

ad x = 0 \Leftrightarrow \forall z \in L, [x, z] = 0 \Leftrightarrow x \in Z (L) .

因此 $\ker {ad}_{L} = Z (L)$ 。

特别地，如果 $L$ 是单的，则 $Z (L) = 0$ ，因此 $\ker ad = 0$ ， $ad$ 是一个单同态。因此，同态 $ad : L \to gl (L)$ 的同态定理 $L / \ker ad ≅ im ad < gl (L)$ 给出

定理：单李代数同构于线性李代数

如果 $L$ 是单的，则其同构于 $ad L$ ，而后者是一个线性李代数。

自同构

自同构是李代数自身到自身的同构： $Aut (L)$ 。我们在群论中已经见过，自身到自身的同构可以有很多种。线性李代数的一种重要例子是：如果 $g$ 是 $V$ 的一个可逆线性同态，且 $g L g^{- 1} = L$ ，则映射 $x \mapsto g x g^{- 1}$ 就是一个自同构。

考虑特殊情况： $char F = 0$ 。假设 $x \in L$ 满足 $ad x$ 是幂零的，则对其而言，指数 $\exp ad x$ 是可定义的，因为其有且仅有有限项。我们可以证明 $\exp (ad x)$ 是 $L$ 的一个自同构。

更一般地，设 $δ$ 是 $L$ 的任一个幂零导子（注意 $ad x$ 也是一个导子），则 $\exp δ$ 也是一个自同构。这是因为

\begin{aligned} \exp δ (x) \exp δ (y) & = (\sum_{i = 0}^{k - 1} \frac{δ^{i} x}{i!}) (\sum_{j = 0}^{k - 1} \frac{δ^{i} y}{j!}) \\ = \sum_{n = 0}^{2 k - 2} \sum_{i = 0}^{n} \frac{δ^{i} x}{i!} \frac{δ^{n - i} y}{(n - i)!} \\ \overset{Leibniz}{=} \sum_{n = 0}^{2 k - 2} \frac{δ^{n} (x y)}{n!} \\ \overset{δ^{k} = 0}{=} \sum_{n = 0}^{k - 1} \frac{δ^{n} (x y)}{n!} \\ = \exp δ (x y) . \end{aligned}

$\exp δ$ 的逆是 $\exp (- δ)$

幂零元与内自同构

如果 $ad x$ 是幂零的，则称由形如 $\exp (ad x)$ 生成的同构子群为内自同构群（inner automorphism group），记作 $Int L$ ，这是一个正规子群。

最后，我们说明一个重要的性质

(\exp x) y (\exp x)^{- 1} = \exp ad x (y),

这里 $x \in L$ 是幂零的， $L \subset gl V$ 为任一线性李代数， $char F = 0$ 。

为证明这一结论，考虑同态

λ_{x} := End V \to End V, y \mapsto x y

ρ_{x} := End V \to End V, y \mapsto y x

则 ${ad}_{x} = λ_{x} + ρ_{- x}$ 。乘积法则说明

\exp ad x = \exp (λ_{x} + ρ_{- x}) = \exp λ_{x} \cdot \exp ρ_{- x} = λ_{\exp x} \cdot ρ_{\exp (- x)}

再由此即可推出上述结论。

李代数的理想 （Ideal）

理想的定义

陪集

理想的运算

单李代数

商代数、典范映射与直积

正规化子与中心化子

同态与表示

同态的核与像

同态定理

表示

自同构

幂零元与内自同构

李代数的理想（Ideal）